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Apuntes sobre la “Cinta de Möbius” y la “Botella de Klein”, su naturaleza dialéctica PDF Imprimir Correo electrónico
Escrito por David Rodrigo García Colín Carrillo   
Domingo 23 de Octubre de 2016 13:51

Mobius“El principio y el fin de la circunferencia es el mismo” [Heráclito]

La topología es una rama de las matemáticas que estudia un mundo asombroso donde las paralelas se juntan, los ángulos internos de un triángulo no suman 180°, las planos se confunden y las dimensiones se desdibujan. Es decir, un mundo donde no existe una rígida “Muralla china” entre los opuestos. Veremos las asombrosas propiedades de dos estructuras topológicas que desafían el “sano” sentido común, una de las cuales el lector podrá construir simplemente teniendo a la mano una tira de papel de baño. Pocos hubieran imaginado que el papel sanitario pudiera demostrar el pensamiento dialéctico, pero la dialéctica se impone por “vias misteriosas”.

Según el quinto axioma de Euclides las rectas paralelas nunca se juntan. La geometría euclidiana, con sus rígidas divisiones propias de la lógica aristotélica, se mantuvo vigente por más de mil años, pero en el siglo XVII el cálculo diferencial e integral de Newton y Leibniz abrió la primera brecha al establecer la relación dialéctica entre las magnitudes finitas e infinitas, las rectas y las curvas. Después, en el siglo XIX, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss intentó crear geometrías no euclidianas –experimentó con lo que ahora se conoce como geometría hiperbólica-, el tipo de cálculo que introdujo fue imprescindible para la formalización de los campos eléctricos hecha por Maxwell. Ya hemos hablado de las propiedades dialécticas implícitas en las grandes revoluciones científicas del siglo XX [http://centromarx.org/index.php/documentos/filosofia/ciencia] y en el cálculo diferencial e integral [http://old.laizquierdasocialista.org/node/3370], ahora nos queremos centrar en dos estructuras conocidas como “Cinta de Möbius” y “Botella de Klein” que presentan propiedades dialécticas increíbles.

En el cálculo infinitesimal las rectas son una fracción infinitesimal de una curva. Si las rectas se doblan el paso siguiente era doblar los planos, retorcerlos. Dos de los alumnos de Gauss (quien recordemos pretendía inaugurar una nueva geometría), los alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, hicieron, en 1858, exactamente eso y dieron los primeros pasos en una nueva rama de las matemáticas, desarrollada a finales de ese siglo y comienzos del siguiente, llamada topología (que proviene de las raíces griegas topos-lugar- y logos-razón-).

Como su etimología lo sugiere, la topología considera los cuerpos no desde el punto de vista cuantitativo, como lo había hecho la geometría euclidiana, sino desde el punto de vista de las cualidades espaciales que se mantienen cuando se dobla y se retuerce el espacio sin que éste se rompa -como la masa que se retuerce pero se mantiene unida en la manos de un panadero-. Así, por ejemplo, una dona y una taza son topológicamente equivalentes porque la dona pueda transformarse en una taza, pero una esfera no puede transformarse en ésta (pues le hace falta el agujero). Por ello se dice que los topólogos son las únicas personas capaces de tomar café en una dona para almorzarse la taza de café azucarada.images (4)

La cinta de Möbius

Antes de retorcer el espacio de Euclides, retomemos su quinto axioma donde las paralelas nunca se juntan. En una cinta infinita, según la geometría helenista, las líneas paralelas no se juntan –por lo que la cinta tiene dos bordes- como no tenemos a la mano una cinta infinita podemos juntar los extremos de una cinta finita formando un círculo en donde las paralelas siguen conservando su propiedad euclidiana de no juntarse jamás; además de tener dos bordes, la cinta tiene dos planos –el interno y el externo- perfectamente delimitados, tal como los tiene una cinta recta. Si imaginamos que dos hormigas caminan por ambas superficies del círculo, con la condición de no cruzar los bordes, los insectos no se encontrarán jamás. Podemos iluminar con absoluta independencia cualquiera de sus caras o marcar sus bordes paralelos sin que los colores se intercepten (mejor dicho, en términos geométricos, se intersequen).

images (5)Lo que hicieron Möbius y Listing de forma independiente –ambos fueron colaboradores de Gauss, lo que muestra que su interés por nuevas geometrías no era casual- fue tomar una cinta y retorcer uno de sus extremos 180° pegándolo luego con su otro extremo. Tenemos aquí algo muy similar a la cinta circular original pero con propiedades asombrosas y en cierto sentido opuestas. Esta cinta es conocida como la “Cinta de Möbius”. El lector puede fabricar su propia cinta en unos minutos, incluso, con una tira de papel de baño; si lo hace podrá ver con sus propios ojos y de manera plástica las asombrosas propiedades de esta cinta.

Euclides dice que las rectas no se juntan, pero los bordes paralelos de esta cinta no sólo se juntan sino que son una sola línea (es decir, la cinta tiene un solo borde). Esto es increíble, una cinta circular de una sola línea. El lector lo puede comprobar siguiendo el perímetro con un lápiz.

No sólo eso, la banda original tiene claramente dos superficies –externa e interna- pero en la Cinta de Möebius el plano interno y externo son el mismo, por lo que las hipotéticas hormigas que caminan en sus lados opuestos se encuentran. Los matemáticos señalan que los opuestos externo e interno pierden su sentido en esta figura. El lector puede iluminar una de las caras de la cinta y verá cómo termina por iluminar toda su superficie –lo opuesto que sucede con una cinta normal-. La figura es, en cierto sentido, infinita como el círculo pero más compleja puesto que se recorre toda su superficie y todo su perímetro. [En la imagen la escalera Möbius “Pretzel Stair Sculpture”, Montreal]

escalera-mobius

Heráclito, quien dijo que el principio y el fin de la circunferencia son el mismo, se ha de estar riendo desde su tumba. Los opuestos se unen, se funden: una asombrosa confirmación matemática del pensamiento dialéctico.

Además de lo anterior la Cinta de Möbius es una estructura “no orientable”. Para entender esto imaginemos que desplazamos un reloj sin pila que marca las 3 en punto sobre una cinta circular normal, cuando el reloj retorna a su punto de partida, las agujas apuntarán la misma hora –por esto se dice que una banda circular normal sí es “orientable”-.  En la Cinta de Möbius, por el contrario, cuando el reloj regresa a su punto de partida las agujas aparecen en sentido opuesto, como si marcaran las 3:30. Por esto se trata de una estructura “no orientable”.

Existen otras propiedades de la cinta que son dignas de un espectáculo de magia. Una cinta circular normal se puede recortar por su eje longitudinal y al terminar –como es obvio- tendremos dos cintas independientes. En la Cinta de Möbius el mismo procedimiento –cortar la cinta por la línea media longitudinal- da como resultado una cinta mayor con dos bucles en lugar de uno. Y si repetimos la operación en esta cinta de dos bucles, tenemos como resultado dos cintas independientes pero enlazadas en eslabón. Si el corte inicial, en cambio, se hace por la línea longitudinal pero sin que sea equidistante a los bordes, tenemos como resultado dos aros entrelazados, uno de ellos del doble de tamaño del otro.

En resumen, esta cinta traviesa tiene propiedades muy especiales que contradicen la intuición común, como si “escupiera en la cara” de la conservadora lógica formal.

Una de las obras más conocidas del extraordinario grabador Maurits Cornelis Escher, “Hormigas sobre la cinta infinita de Möbius”, es la mejor representación de la que disponemos de esta extraña figura.15 hormigashttp://www.laizquierdasocialista.org/wp-content/uploads/2016/10/15-hormigas-298x300.jpg 298w, http://www.laizquierdasocialista.org/wp-content/uploads/2016/10/15-hormigas-1016x1024.jpg 1016w, http://www.laizquierdasocialista.org/wp-content/uploads/2016/10/15-hormigas.jpg 1172w" sizes="(max-width: 150px) 100vw, 150px" style="margin: 0px 0px 0px 10px; padding: 0px; font-style: inherit; font-variant: inherit; font-weight: inherit; font-stretch: inherit; font-size: inherit; line-height: inherit; font-family: inherit; vertical-align: baseline; max-width: 100%; display: block; float: right; height: auto;">

Pero en realidad la Cinta de Möbius era una estructura conocida desde la antigüedad, uno de los ejemplos conocidos más arcaicos es un texto alquimista titulado “Chrysopoeia” (significa “fabricación de oro”) del Egipto ptolemaico del siglo II donde aparece el famoso símbolo Uroboros (la imagen de una serpiente engulléndose a sí misma) en forma de cinta Möbius (la cola de la serpiente se retuerce). Asombrosamente, como confirmando que en la antigüedad se conocían las propiedades dialécticas de la estructura, en el centro de la figura aparece un texto en griego que se ha traducido como “todo es uno” o “uno es todo”. Era, probablemente, un símbolo con significado similar al Yin yang de los antiguos chinos. El famoso símbolo del infinito, por otra parte, es una cinta Möbius introducida por el matemático inglés John Wallis en 1656 en su libro llamado “Aritmética infinitorum”. Pero, con todo, quizá sea justo darle el mérito de su descubrimiento cabal a Möbius y Listing puesto que éstos estudiaron de forma sistemática las propiedades topológicas de la estructura, más allá de la mística y la aritmética.

Chrysopoea_of_Cleopatra_1

Casi cien años antes de que la Cinta de Möbius fuera construida, en 1747, Johann Sebastian Bach la construyó…en la música. Increíblemente, en su Ofrenda Musical –también conocida como el “Canon del cangrejo”-, Bach estructura su obra como si hubiera sido escrita en una Cinta de Möbius: la melodía termina por el principio y a continuación las notas se repiten en reversa, luego comienza el canon como si se tocaran las notas, al unísono, escritas en las “dos caras” (recordemos que tiene sólo una cara) de la Cinta de Möbius [en el siguiente video se plasma esta increíble joya musical]. Esto es una pequeña muestra de por qué Bach es considerado por muchos como el compositor más genial de todos los tiempos.

La botella de Klein y la cuarta dimensión

Uno pudiera pensar que se trata de una curiosidad matemática sin mayor relevancia, sólo útil para un espectáculo infantil, pero en realidad es la geometría euclidiana –la que nos parece tan familiar y razonable- la que no es capaz de representar la realidad material en su concreción – por cierto, la topología tampoco lo hace (no trabaja con rompimientos y fracturas) pero se acerca más a hacerlo- por lo que, más allá de cierto punto, es la geometría de Euclides la que se vuelve un sin sentido. Gracias a Einstein, a su Teoría de la Relatividad General, sabemos que las propiedades geométricas del espacio están determinadas por la materia. A grandes campos gravitacionales el espacio se curva, se retuerce y se deforma–algunos piensan que la misma curvatura del espacio puede explicar la gravedad-. En consecuencia, la topología es capaz de estudiar las propiedades de estos espacios deformados como jamás podría hacerlo la geometría euclidiana que supone espacios vacíos, rectos y perfectos, independientes de la materia. Además de sus aplicaciones teóricas más amplias, la estructura ha sido inspiración para inventos como cintas de grabación que permiten almacenas el doble de datos o cintas de transportación que duran el doble de tiempo.

La Cinta de Möbius es la “plantilla” con la que se construyó una figura tridimensional asombroso conocido como la Botella de Klein. Desde el punto de vista geométrico la Cinta de Möbius tiene dos dimensiones. Una cinta normal –no retorcida 180°- se puede rotar sobre sí misma para construir una cilindro y con este una botella –topológicamente son equivalentes-. En la botella (suponiendo que tiene la tapa puesta) el interior y el exterior están bien delimitados –para tranquilidad de la lógica formal- y por eso confiamos en ellas para añejar vinos o contener otros líquidos sin temor a que se derramen. Así como una cinta normal se puede usar como molde para construir una botella, la cinta de Möbius se pueda usar para construir una botella, pero con propiedades asombrosas [véase el video de cómo se construye]

En ésta, el interior y el exterior se funden, son lo mismo; es una botella sin bordes y también es “no-orientable”. Esta botella nuestra hormiga, “vieja conocida”, podría recorrerla por “dentro” y por “fuera” sin existir bordes como frontera o sin que algo se interponga a un suave caminar.

Lamentablemente esta botella sólo se puede construir matemáticamente y de manera virtual pues es una de esas figuras imposibles que desafían nuestra percepción (se puede construir en la realidad pero sólo aceptando algunos “feos” bordes).images

Pero como dice los periodistas: no dejemos que los crudos “hechos” nos echen a perder una buena historia, sobre todo cuando esta “historia” implica la noción de una cuarta dimensión. Lo curioso de la Botella de Klein es que para construirla matemáticamente se requiere aceptar la existencia de una dimensión adicional. Para captar la idea diremos que algo similar sucede con la Cinta de Möbius –afortunadamente ésta se puede construir en la realidad-, la cinta tiene dos dimensiones pero la debemos retorcer sobre la tercera dimensión 180°. Pero para que la Botella de Klein no tenga bordes debemos retorcer su superficie de una forma que no es posible en el mundo real; en esto es diferente a su modelo de Möbius, y por eso sólo se puede construir abstractamente por medio de fórmulas matemáticas.

La “cuarta dimensión” –estamos descontando el tiempo, por supuesto- nos permite terminar este artículo con una reflexión sobre la especulación en la ciencia. Las fórmulas matemáticas permiten modelar muchos escenarios que pueden o no corresponderse con el mundo material. Es posible imaginar tantas dimensiones como se quiera. Por ejemplo, la “Teoría de cuerdas” -que pretende reducir el mundo material a la manera pitagórica a una serie de cuerdas que “vibran” para generar el mundo que observamos y de esta manera encontrar una base subyacente, la llamada “Teoría del todo”- necesita de 10 dimensiones –más la dimensión temporal- pero esta teoría no es más que pura especulación con una base matemática y sin que sea posible demostrarla, hasta ahora por lo menos, experimentalmente. La ciencia no es sino la unidad de la teoría y la práctica y en ésta –como señalaron Marx y Engels- está la “piedra de toque” de las teorías científicas. Si divorciamos la teoría de la práctica la teoría degenera en misticismo. ¿La “cuarta dimensión” de la botella de Klein existe realmente? No lo sabemos, pero en el mundo existen infinitas manifestaciones que descubriremos en un proceso sin fin –es posible que entre éstas existan dimensiones adicionales-. En su autobiografía Isaac Asimov escribió: “Creo que el conocimiento científico tiene propiedades fractales: que por mucho que aprendamos, lo que queda, por pequeño que parezca, es tan infinitamente complejo como el todo por el que empezamos. Ese, creo yo, es el secreto del universo”.[1]

Lo que sí está fuera de toda duda es que el mundo no es una serie de planos vacíos, una colección de figuras perfectas que se puedan trazar con regla, escuadra y compás. Vivimos en un mundo que se retuerce y se quiebra (la naturaleza fracturada de la realidad es estudiada por otra rama de la física y las matemáticas conocida como teoría del Caos y fractalidad [http://argentina.elmilitante.org/teora-othermenu-54/6702-2014-09-25-02-32-00.html], un mundo donde los opuestos se unen y, a veces, se confunden. En pocas palabras, un mundo dialéctico. Nunca encontraremos una acabada “Teoría del todo” pero sí podemos aspirar a disponer de una concepción del mundo adecuada para entender el movimiento, los cambios bruscos y las transformaciones revolucionarias que se sucederán sin fin. Este método es el materialismo dialéctico.

[1] Citado en: http://lanyel-anatomiadelcaos.blogspot.mx/2011/11/la-botella-de-klein.html