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Intentos fallidos por eliminar la contradicción: la Paradoja de Russell y el Teorema de Gödel PDF Imprimir Correo electrónico
Escrito por David Rodrigo García Colín Carrillo   
Jueves 17 de Diciembre de 2015 16:47

"La guerra es el padre y rey de todas las cosas" (Heráclito)
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Todos los intentos por eliminar la contradicción en la historia de la filosofía han resultado infructuosos e, incluso, contraproducentes. Cuando, por ejemplo, en la antigua Grecia, Zenón trató de apuntalar la teoría de su mentor Parménides, teoría que sostenía que el verdadero Ser es inmutable y sin contradicciones, por medio de sus famosas paradojas -las más conocidas la de “Aquíles y la tortuga” y la de “La flecha”- logró demostrar que el movimiento implica contradicciones inmanentes.

Zenón, al perecer, quería demostrar que la realidad material es una ilusión -ya que implica contradicciones- pero sin quererlo, lo que mostró fue que el pensamiento de su mentor -fundador de la escuela conocida como “los eleatas”- era errado.

Evidentemente, los intentos conservadores por extirpar las contradicciones no terminaron con los eleatas de la antigua Grecia. Los logicistas, a comienzos del siglo XX, intentaron eliminar las contradicciones de la teoría matemática reduciendo ésta a la lógica formal. Creían que el conjunto de las matemáticas podía derivarse del formalismo lógico, asumiendo, con ello, que quedarían sólidamente establecidas para la eternidad. Sin embargo, como veremos, al tratar de evadir la contradicción sólo se la volvieron a encontrar, enredándose en contradicciones sin salida.

En 1902 Gottlob Frege publicó una obra llamada “Las leyes fundamentales de la aritmética” que afirmaba haber logrado el llamado “programa logicista” consistente en demostrar la consistencia lógico formal de la teoría matemática, este libro se apoyaba en la teoría de conjuntos para probar que el conjunto de las teorías matemáticas era lógicamente consistente. Pero al igual que sucedió con Zenón y su mentor Parménides en la antigüedad, Bertrand Russell -quien compartía la utopía logicista de Frege- encontró una contradicción en la teoría de conjuntos que demostró que todo el edificio del libro de Frege, y del programa logicista en su conjunto, estaba errado. Russell mismo explicó:

"Me parece que una clase a veces es, y a veces no es, un miembro de sí misma. La clase de las         cucharitas de té, por ejemplo, no es otra cucharita de té, pero la clase de cosas que no son cucharitas de té es una de las cosas que no son cucharitas... [esto] me condujo a considerar las      clases que no son miembros de sí mismas; y éstas, parecía, debían formar una clase. Me    pregunté si esta clase es o no un miembro de sí misma. Si es un miembro de sí misma, debería         poseer las propiedades que definen a dicha clase, que consisten en no ser miembros de sí             mismas. Si no es un miembro de sí misma, no debe poseer la propiedad definitoria de la clase, y por tanto debe ser un miembro de sí misma. Así cada alternativa lleva a su opuesta y existe una contradicción".

Esta paradoja es conocida como “Paradoja Russell”. Si la explicación anterior de Russell resulta oscura o confusa, éste mismo expuso la paradoja en términos más comprensibles: 

“Hace muchos años, en un lejano reino, había pocas personas que su oficio fuera ser barbero. Para solucionar el problema, el rey dictaminó que los barberos solo podían afeitar a las personas que no podían afeitarse por sí mismas. Uno de esos barberos, era el único en su comarca y le entró la siguiente duda: “Como barbero no puedo afeitar al barbero de mi comarca, que soy yo, porque entonces podría afeitarme a mí mismo. Pero entonces, algún barbero debe de afeitarme, pero como soy el único que hay, entonces no me puedo afeitar”.

En pocas palabras, si el barbero se afeita no lo debería hacer -ya que sólo afeita a los que no se afeitan a sí mismos- y si el barbero no se afeita lo tendría que hacer -ya que el barbero afeita a los que no se afeitan a sí mismos-.

En esencia, la misma paradoja basada en las propiedades contradictorias de los conjuntos, está representada por el siguiente ejemplo:

-Aquí hay tres afirmaciones falsas:

1.-1+1=3

2.-5+5=10

3.-2+2=5

Es evidente que sólo hay dos afirmaciones falsas (afirmación 1 y 3) por lo tanto la afirmación “Aquí hay tres afirmaciones falsas” es falsa; con lo cual ya tenemos tres afirmaciones falsas, pero entonces “Aquí hay tres afirmaciones falsas” es verdadera (ya que hay tres afirmaciones falsas); pero si es verdad, entonces sólo hay dos falsas (afirmación 1 y 3), entonces “Aquí hay tres afirmaciones falsas” se vuelve falsa... y así hasta el infinito. Tenemos aquí una proposición o juicio que al ser verdadero se vuelve falso y al ser falso se vuelve verdadero. ¡Una violación completa y flagrante al principio de no contradicción, tan supersticiosamente adorado en la lógica formal!


Por su origen etimológico griego “paradoja” significa “contra la opinión común” y ¡vaya que al superficial sentido común le cuesta trabajo aceptar la contradicción! Estas paradojas parecerían una simple curiosidad intelectual, útiles sólo para entretenerse, sorprenderse o divertirse, pero implican mucho más que eso: ponen en cuestión la pertinencia del formalismo lógico para la teoría de conjuntos- y las matemáticas son un conjunto de conjuntos-. Por sí misma minó por completo el intento logicista o al menos sembró la semilla de lo que vendría unas décadas después. Russell envió una carta a Frege exponiendo esta contradicción -obviamente en términos más formales que en la versión popular de la paradoja del barbero- justo cuando éste acababa de publicar su libro “Las leyes fundamentales de la aritmética”. Al infortunado Frege sólo le dio tiempo de pegar una nota final -una errata terrible (que debe ser la pesadilla de cualquier escritor) que implicaba aceptar que todo su libro era un intento fallido- , decía lo siguiente:

            “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus   cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha   puesto en esta situación...”.

Por lo menos, Frege tuvo la honestidad intelectual de descalificar su libro -una actitud no muy frecuente en la academia de nuestros días-. Alfred North Whitehead, otro matemático integrante de la escuela logicista, comentó amargamente: "nunca habrá otra vez una alegre y confiada mañana"... al menos no para los positivistas lógicos. Russell, por su parte, escribió: "Sentí acerca de estas contradicciones lo mismo que debe sentir un ferviente católico acerca de los papas indignos".

Por años Russell se rompió la cabeza contra la paradoja que él mismo había encontrado -podemos imaginarnos a Zenón haciendo lo mismo hace más de dos mil años-, se dice que incluso pensó en el suicidio pero encontró una solución mejor... la “Teoría de tipos” que consistió simplemente -más allá de las formalizaciones sofisticadas- en evadir la paradoja: ¡Afirmando que los conjuntos de clases que se contienen a sí mismos no son conjuntos! Expulsando la contradicción, se pretendía eliminarla para después de esto seguir trabajando tranquilamente con sus conjuntos expurgados, sin temor de que nos asalte el diablo de la contradicción. Es como si expulsando por decreto a los gatos negros del conjunto de los mamíferos -simplemente por nuestro temor supersticioso a que se nos crucen por el camino- les extirpáramos a éstos las glándulas mamarias. Lamentablemente el necio diablo de la contradicción los asaltará después de forma definitiva y esta vez no habrá subterfugio que valga. 

No fue sino hasta los años 30s que el maltrecho edificio del logicismo fue finalmente derrumbado. En 1931 un joven de 25 años llamado Kurt Gödel, pretendiendo probar la corrección del libro de Russel y Whitahead “Principia mathematica”, logró exactamente lo contrario... demostrar que era imposible la empresa de expurgar la contradicción de las matemáticas y, por tanto, que no es posible reducir las matemáticas al lenguaje de la lógica formal. En 25 páginas de un ensayo titulado “Sobre sentencias formalmente indecidibles de Principia Mathematica y Sistemas afines” este joven de 25 años -utilizando el mismo formalismo lógico que pretendía explicarlo todo- encontró que si se eliminaban las contradicciones de los axiomas de un sistema que tratara de explicar la aritmética, siempre quedarían axiomas que no podrían demostrarse lógicamente haciendo referencia a ese mismo sistema –un sistema que hace referencia a sí mismo es “recursivo”-, por tanto, la teoría matemática es siempre incompleta y no reductible a un sistema lógico o algorítmico –reducible a una serie de pasos simples que lo resuelvan todo-. En pocas palabras: no es posible determinar la consistencia lógica de un sistema formal dentro de sí mismo, no es posible que un sistema de axiomas se demuestre a sí mismo. Por ello el teorema de Gödel se le conoce como “Teorema de la incompletud”.  

Según Gödel la imposibilidad de que un sistema formal abstracto se justifique a sí mismo tiene relación con la teoría de conjuntos -con la paradoja encontrada por Russell- y a la famosa paradoja del mentiroso conocida ya por los antiguos griegos desde el siglo IV a. C. : “Un hombre afirma que está mintiendo. ¿Lo que dice es verdadero o falso?” Es evidente que este es un juicio que autodestruye su valor de verdad -por eso mismo el pensamiento posmoderno, que afirma de forma absoluta que la verdad no existe se elimina a sí mismo; como también el positivismo que afirma que la verdad debe ser lógicamente pura, se autoelimina-. Tanto el positivismo como el posmodernismo son como la mitológica serpiente Uróboros que se come su propia cola hasta desaparecer.

Nos parece que el Teorema de Gödel y viejas paradojas como la del “mentiroso” tienen implicaciones filosóficas más amplias. La única manera de no autodestruir el pensamiento o encerrarse en el establo estrecho de la no-contradicción es aceptar la contradicción misma y concebir un sistema de pensamiento abierto y móvil. Desde nuestro punto de vista el pensamiento dialéctico -basándose precisamente en las contradicciones, el movimiento y apertura a lo nuevo- cumple las características para no encerrarse en contradicciones insolubles-siempre y cuando no degenere como en los dogmáticos manuales estalinistas-. Como lo demuestra la paradoja del mentiroso, pretender eliminar la contradicción nos lleva a una contradicción absurda que autodestruye el conocimiento. La única salida es aceptar la interrelación polar de la verdad y la falsedad. Quedarse fijamente establecido en cualquier polo de la contradicción lleva al absurdo. 

Es necesario aceptar que la verdad y la falsedad son valores relativos cuyo carácter no es absoluto, que los axiomas matemáticos deben quedar abiertos, y que es imposible probarlos de forma absoluta con base a la teoría pura. Que toda teoría debe contrastarse con la realidad por medio de la práctica y que-como ya había señalado Marx- toda teoría al margen de la acción no es más que escolástica.

Dado que el universo mismo nos es más que un conjunto infinito interrelacionado de infinitos conjuntos -cada subconjunto con axiomas válidos sólo para ese conjunto-, es decir, un conjunto infinito que se contiene a sí mismo, es imposible eliminar la contradicción del mundo y de su expresión abstracta: el pensamiento. Es evidente que esto no significa que el pensamiento no deba observar el rigor lógico formal, sino que debe reconocer los límites del formalismo lógico en el estudio mismo de las contradicciones reales y concretas e intentar reproducir esas contradicciones de la forma más correcta posible en el pensamiento, con ayuda del pensamiento entrelazado dialécticamente con la actividad práctica.    

Los intentos por eliminar la contradicción de la realidad y el pensamiento responden -lo sepa o no el pensador conservador- a la necesidad de la burguesía -e incluso a una necesidad psicológica de los sectores favorecidos o acomodados al sistema- por eliminar el movimiento, el flujo, la lucha y las transformaciones revolucionarias, es decir, todo aquello que amenace los privilegios y el confort. El problema para ellos es que es imposible eliminar el movimiento.

El método marxista -el materialismo dialéctico- es revolucionario por esencia ya que su objetivo es servir de instrumento para la transformación revolucionaria de la sociedad y por ello no sólo no está interesado en ocultar o eliminar las contradicciones sino que vuelve a éstas parte esencial del método revolucionario de pensar y entender la realidad. Esto no se debe sólo a un interés de clase pragmático -de la clase obrera- sino a que la contradicción es inmanente a la realidad, y reconocerlo es un requisito indispensable para transformarla, es decir, para aspirar a tener éxito en la práctica. Así pues, asumir la contradicción no es un capricho sino una necesidad contra la cual los positivistas no han hecho más que estrellarse de cabeza, demostrando, incluso, que en el núcleo mismo del pensamiento matemático se encuentra oculta la contradicción. Esto lo demostró Gödel y Russell sin quererlo y en ello radica, entre otros desarrollos del formalismo lógico, su mérito. 

Bibliografía:

-“El Teorema de Incompletitud de Gödel (Versión para no iniciados)” Claudio Gutiérrez

Departamento de Ciencias de la Computación Universidad de Chile, en: en:www.dcc.uchile.cl/~cgutierr/otros/godel.ps(link is external)

-”El teorema de Gödel, sobre la verdad y la demostrabilidad”,  en: http://labellateoria.blogspot.mx/2007/05/el-teorema-de-gdel-sobre-la-ver...(link is external)

Fecha: 

16 de diciembre de 2015